Vad är konsonans?

I föregående anteckning fick vi reda på hur ljud fungerar. Låt oss upprepa denna formel:

LJUD = GRUNDTON + ALLA FLERA OVERTONS

Dessutom, när japanerna beundrar körsbärsblommorna, kommer vi också att beundra frekvenssvarsgrafen – ljudets amplitud-frekvenskarakteristik (Fig. 1):

Kom ihåg att den horisontella axeln representerar tonhöjden (oscillationsfrekvensen) och den vertikala axeln representerar ljudstyrkan (amplituden).

Varje vertikal linje är en överton, den första övertonen brukar kallas grundtonen. Övertoner är ordnade enligt följande: den andra övertonen är 2 gånger högre än grundtonen, den tredje är tre, den fjärde är fyra, och så vidare.

För korthetens skull, istället för "frekvens nth harmonic" kommer vi helt enkelt att säga "nth harmonic”, och istället för “fundamental frequency” – “ljudfrekvens”.

Så om vi tittar på frekvenssvaret kommer det inte att vara svårt för oss att svara på frågan, vad är konsonans.

Hur räkna till oändlighet?

Konsonans betyder bokstavligen "samljud", ledljud. Hur kan två olika ljud låta tillsammans?

Låt oss rita dem på samma diagram under varandra (bild 2):

Här är svaret: några av övertonerna kan sammanfalla i frekvens. Det är logiskt att anta att ju fler matchande frekvenser, desto mer "vanliga" ljud har, och följaktligen desto mer konsonans i ljudet av ett sådant intervall. För att vara helt exakt är det viktigt inte bara antalet matchande övertoner, utan hur stor andel av alla klingande övertoner som matchar, det vill säga förhållandet mellan antalet övertoner och det totala antalet klingande övertoner.

Vi får den enklaste formeln för att beräkna konsonans:

var N_sovp är antalet matchande övertoner,  N_gemensam är det totala antalet klingande övertoner (antalet olika klingande frekvenser), och nackdelar och är vår önskade konsonans. För att vara matematiskt korrekt är det bättre att anropa kvantiteten ett mått på frekvenskonsonans.

Tja, saken är liten: du måste beräkna N_sovp и N_gemensam, dela den ena efter den andra och få önskat resultat.

Det enda problemet är att både det totala antalet övertoner och till och med antalet matchande övertoner är oändligt.

Vad händer om vi delar oändlighet med oändlighet?

Låt oss ändra skalan på föregående diagram, "flytta oss bort" från det (fig. 3)

Vi ser att matchande övertoner uppstår om och om igen. Bilden upprepas (fig. 4).

Denna upprepning kommer att hjälpa oss.

Det räcker för oss att beräkna förhållandet (1) i en av de prickade rektanglarna (till exempel i den första), då, på grund av upprepningar och på hela linjen, kommer detta förhållande att förbli detsamma.

För enkelhetens skull kommer frekvensen för grundtonen för det första (lägre) ljudet att anses vara lika med enhet, och frekvensen för grundtonen för det andra ljudet kommer att skrivas som en irreducerbar bråkdel  .

Låt oss notera inom parentes att i musikaliska system, som regel, är det just ljud som används, vars förhållande mellan frekvenser uttrycks av någon bråkdel  . Till exempel är intervallet för en femtedel förhållandet  , liter –  , triton —   och så vidare

Låt oss beräkna förhållandet (1) inuti den första rektangeln (fig. 4).

Det är ganska enkelt att räkna antalet matchande övertoner. Formellt finns det två av dem, en tillhör det undre ljudet, det andra – till det övre, i fig. 4 är de markerade med rött. Men båda dessa övertoner låter på samma frekvens, om vi räknar antalet matchande frekvenser, så kommer det bara att finnas en sådan frekvens.

Vad är det totala antalet ljudfrekvenser?

Låt oss argumentera så här.

Alla övertoner i det lägre ljudet är arrangerade i heltal (1, 2, 3, etc.). Så snart någon överton i toppljudet är ett heltal, kommer den att sammanfalla med en av övertonerna i botten. Alla övertoner i det övre ljudet är multiplar av grundtonen , alltså frekvensen n-th övertonen kommer att vara lika med:

det vill säga, det kommer att vara ett heltal (sedan m är ett heltal). Det betyder att det övre ljudet i rektangeln har övertoner från första (grundton) till n-åh, därför, ljud n frekvenser.

Eftersom alla övertoner i det lägre ljudet är belägna i heltal, och enligt (3), inträffar det första sammanträffandet vid frekvensen m, visar det sig att det lägre ljudet inuti rektangeln kommer att ge m ljudande frekvenser.

Det bör noteras att den sammanfallande frekvensen m vi räknade återigen två gånger: när vi räknade frekvenserna för det övre ljudet och när vi räknade frekvenserna för det lägre ljudet. Men i själva verket är frekvensen en, och för det korrekta svaret måste vi subtrahera en "extra" frekvens.

Summan av alla ljudfrekvenser inuti rektangeln blir:

Genom att ersätta (2) och (4) i formel (1) får vi ett enkelt uttryck för att beräkna konsonansen:

För att betona konsonansen av vilka ljud vi beräknat kan du ange dessa ljud inom parentes nackdelar:

Med hjälp av en så enkel formel kan du beräkna konsonansen för vilket intervall som helst.

Och låt oss nu överväga några egenskaper hos frekvenskonsonans och exempel på dess beräkning.

Egenskaper och exempel

Låt oss först beräkna konsonanserna för de enklaste intervallen och se till att formel (6) "fungerar".

Vilket intervall är det enklaste?

Definitivt prima. Två toner låter unisont. På ett diagram kommer det att se ut så här:

Vi ser att absolut alla ljudfrekvenser sammanfaller. Därför måste konsonansen vara lika med:

Låt oss nu ersätta förhållandet med unisont  i formel (6) får vi:

Beräkningen sammanfaller med det "intuitiva" svaret, vilket är att vänta.

Låt oss ta ett annat exempel där det intuitiva svaret är lika självklart – oktaven.

I en oktav är det övre ljudet 2 gånger högre än det nedre (enligt grundtonens frekvens), respektive på grafen kommer det att se ut så här:

Det kan ses från grafen att varannan överton sammanfaller, och det intuitiva svaret är: konsonansen är 50%.

Låt oss beräkna det med formel (6):

Och återigen är det beräknade värdet lika med det "intuitiva".

Om vi ​​tar noten som det lägre ljudet till och plotta konsonansvärdet för alla intervall inom oktaven på grafen (enkla intervaller), får vi följande bild:

De högsta måtten på konsonans finns i oktaven, femte och fjärde. De hänvisade historiskt till "perfekta" konsonanser. Mol- och dur-tertsarna, och moll- och dur-sexten är något lägre, dessa intervall anses vara "imperfekta" konsonanser. Resten av intervallen har en lägre grad av konsonans, traditionellt tillhör de gruppen dissonanser.

Nu listar vi några egenskaper hos måttet på frekvenskonsonans, som kommer från formeln för dess beräkning:

1. Ju mer komplext förhållandet är  (ju fler antal m и n), desto mindre konsonant blir intervallet.

И m и n i formel (6) finns i nämnaren, därför minskar måttet på konsonans när dessa siffror ökar.

2. Den uppåtgående konsonansen för intervallet är lika med den nedåtgående konsonansen för intervallet.

För att få ett nedintervall istället för ett uppintervall behöver vi i förhållandet   byta m и n. Men i formel (6) kommer absolut ingenting att förändras från en sådan ersättning.

3. Måttet på frekvenskonsonansen för ett intervall beror inte på vilken not vi bygger det från.

Om du flyttar båda tonerna med samma intervall uppåt eller nedåt (till exempel bygga en kvint inte från en ton till, men från anteckningen D), sedan förhållandet  mellan toner kommer inte att ändras, och följaktligen kommer måttet på frekvenskonsonans att förbli detsamma.

Vi skulle kunna ge andra egenskaper för konsonans, men för närvarande kommer vi att begränsa oss till dessa.

Fysik och texter

Figur 7 ger oss en uppfattning om hur konsonans fungerar. Men är det så här vi verkligen uppfattar konsonansen av intervaller? Finns det människor som inte gillar perfekta konsonanser, men de mest dissonanta harmonierna verkar trevliga?

Ja, sådana människor finns säkert. Och för att förklara detta bör två begrepp särskiljas: fysisk konsonans и upplevd konsonans.

Allt som vi har övervägt i den här artikeln har att göra med fysisk konsonans. För att beräkna det måste du veta hur ljudet fungerar och hur olika vibrationer summerar. Fysisk konsonans ger förutsättningar för upplevd konsonans, men bestämmer den inte till 100 %.

Upplevd konsonans bestäms mycket enkelt. En person tillfrågas om han gillar denna konsonans. Om ja, så är det för honom konsonans; om inte är det dissonans. Om han får två intervall för jämförelse kan vi säga att en av dem kommer att verka för personen för tillfället mer konsonant, den andra mindre.

Kan upplevd konsonans beräknas? Även om vi antar att det är möjligt, kommer denna beräkning att vara katastrofalt komplicerad, den kommer att inkludera en oändlighet till - en persons oändlighet: hans erfarenhet, hörselegenskaper och hjärnförmågor. Denna oändlighet är inte så lätt att hantera.

Forskning på detta område pågår dock. I synnerhet har kompositören Ivan Soshinsky, som vänligt tillhandahåller ljudmaterial för dessa toner, utvecklat ett program med vilket du kan bygga en individuell karta över uppfattningen av konsonanser för varje person. För närvarande utvecklas sajten mu-theory.info, där vem som helst kan testas och ta reda på egenskaperna hos sin hörsel.

Och ändå, om det finns en upplevd konsonans, och den skiljer sig från den fysiska, vad är poängen med att beräkna den senare? Vi kan omformulera denna fråga på ett mer konstruktivt sätt: hur hänger dessa två begrepp ihop?

Studier visar att korrelationen mellan genomsnittlig upplevd konsonans och fysisk konsonans är i storleksordningen 80%. Detta innebär att varje person kan ha sina egna individuella egenskaper, men ljudets fysik ger ett överväldigande bidrag till definitionen av konsonans.

Naturligtvis är den vetenskapliga forskningen på detta område fortfarande i början. Och som en ljudstruktur tog vi en relativt enkel modell av flera övertoner, och beräkningen av konsonans användes den enklaste – frekvensen, och tog inte hänsyn till särdragen i hjärnans aktivitet vid bearbetning av ljudsignalen. Men att man även inom ramen för sådana förenklingar har erhållit en mycket hög grad av korrelation mellan teori och experiment är mycket uppmuntrande och stimulerar vidare forskning.

Tillämpningen av den vetenskapliga metoden inom området musikalisk harmoni är inte begränsad till beräkningen av konsonans, den ger också mer intressanta resultat.

Till exempel, med hjälp av den vetenskapliga metoden, kan musikalisk harmoni avbildas grafiskt, visualiseras. Vi kommer att prata om hur man gör detta nästa gång.

Författare – Roman Oleinikov